【授業の目的】
1年次に学習した実数を変数とする実数値関数の微積分に対して,複素数を変数とする複素関数の微分積分を講義する。まずそのもととなる虚数単位から始め,複素数を定義する。 次に,正則関数を導入し,Cauchy-Riemannの方程式による正則性の判定を学ぶ。正則関数とべき級数の関係を理解し,初等関数をべき級数により再定義する。複素関数の線積分を導入し,微積分の基本定理が成り立つことを見る。単純閉曲線上の正則関数の積分は零になるというCauchyの積分定理を導き,この定理から正則関数のCauchyの積分表示を導く。Cauchyの積分表示から正則関数のもつ美しい性質を見る。また,同公式から留数定理を導き,複素積分の計算に応用する。 最後に,複素積分を応用して,実関数の定積分の計算を行う。複素関数の微積分の意味や定理を理解させることをねらいとする。
【授業の到達目標】
(1)複素数の計算ができる (2)初等複素関数の微分が計算できる (3)Cauchyの積分定理を用いて積分の計算ができる (4)Cauchyの積分公式を用いた積分の計算ができる (5)留数定理を用いた積分の計算ができる (6)複素積分を応用して実定積分の計算ができる
【授業概要(キーワード)】
複素関数と複素関数,正則関数,Cauchy-Riemannの方程式,Cauchyの積分,Cauchyの積分公式,Taylor展開とLaurent展開,留数定理
【科目の位置付け】
・工業数学の基礎となる科目 ・実変数関数の微積分からの発展
【授業計画】
・授業の方法
90分間の授業時間の内,約60分間を講義に費やし,残りの約30分間で具体的な問題演習またはミニテストを行う.
・日程
(第1週)複素数と複素平面 (第2週)複素数の数列と級数,複素関数 (第3週)正則性とCauchy-Riemann の微分方程式,等角写像 (第4週)無限遠点,1次関数 (第5週)整級数と初等関数 (第6週)複素積分,線積分とGreen の定理 (第7週)複素積分と線積分の演習 (第8週)Cauchy の定理,留数と留数定理 (第9週)Cauchy の定理と留数定理の演習 (第10週)実関数の定積分計算への応用:その1 (第11週)実関数の定積分計算への応用:その2 (第12週)Cauchy の積分公式,最大値原理 (第13週)Liouville の定理,代数方程式の基本定理 (第14週)Taylor展開とLaurent展開 (第15週)期末試験と解説
【学習の方法】
・受講のあり方
私語,喫煙等,他の受講生に迷惑となる行為を行った場合は,受講を中止させ,ミニテストを受験させない.
・授業時間外学習へのアドバイス
(a)予習時には,参考書の該当箇所を前もって熟読しておくことが望ましい. (b)復習時には,講義ノートと参考書を見ながら,ミニテストの問題が解けるようにすることが望ましい.
【成績の評価】
・基準
(1)複素数の計算ができること. (2)複素関数の正則性を理解していること. (3)留数定理を応用して実定積分の応用問題が解けること.
・方法
ミニテスト(14回の予定)の成績(50点満点)をx_m,期末試験(100点満点)x_tとするとき,Max(x_m+x_t/2, x_t)の値で成績を判定する.単位認定は60点以上とする.
【テキスト・参考書】
(参考書) 1)洲之内治男,猪股清二:「改訂 関数論」(サイエンス社,1992年) 2)馬場敬之:「スバラシク実力がつくと評判の 複素関数 ーキャンパスゼミー 改訂2版」(マセマ出版社) 3)志賀浩二:「複素数30講」(朝倉書店,1989年)
【その他】
・学生へのメッセージ
授業は欠席しないこと。欠席すると内容のつながりがわからなくなり,理解が困難になる。
・オフィス・アワー
金曜日午後4時ー午後5時
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