【授業の目的】
複素平面の領域で定義された正則関数、有理型関数の基本的な性質について
理解することを目指す。
【授業の到達目標】
・正則関数についてのコーシーの積分定理、コーシーの積分表示を理解し、応用できる。
・テイラー展開やローラン展開の概念を理解し、具体例で展開することができる。
・留数を理解し、具体的に計算できる。
・留数の応用として種々の積分計算ができる。
【授業概要（キーワード）】
正則関数、積分定理、積分公式、テイラー展開、ローラン展開、有理型関数
【科目の位置付け】
理学部理学科数学コース専門選択科目。この授業は、理学部ディプロマ・ポリシー「理学についての深い知識を修得し、自己の中に体系化することにより、幅広い視野と探求心を持つ」に関連する。
【SDGs（持続可能な開発目標）】
04.質の高い教育をみんなに
09.産業と技術革新の基盤をつくろう
【授業計画】
・授業の方法
講義形式で授業を行う．複素数、複素関数、複素微分、複素積分等について、基本的な性質を説明し、それらの証明を与える
・日程
第１回 コーシーの積分定理(1)：説明
第２回 コーシーの積分定理(2)：証明
第３回 正則関数の積分表示
第４回 テイラー展開(1)：定義と性質
第５回 テイラー展開(2)：収束・収束半径
第６回 テイラー展開(3)：具体例での計算
第７回 まとめ
第８回 最大絶対値の原理
第９回 ローラン展開(1)：定義と基本性質
第10回 ローラン展開(2)：具体例での展開
第11回 孤立特異点
第12回 留数
第13回 留数定理(1)：定理の説明および証明
第14回 留数定理(2)：留数を用いた積分計算
第15回 まとめおよび試験
【学習の方法・準備学修に必要な学修時間の目安】
・受講のあり方
講義を聴き、復習をして、一歩一歩着実に知識を重ねていく。さらに、問題を自ら解くことにより理解を深めていく。
・授業時間外学習（予習・復習）のアドバイス
講義ノートを整理する。用語が正しく理解できているか、定理の内容が正しく理解できているかを確認する。関連する演習問題を解いてみる。
【成績の評価】
・基準
試験および適宜行う小テストとレポートで以下の点を評価する。
・テイラー展開、ローラン展開の計算技術を習得している。
・留数の概念を理解し、具体例で計算ができる。
・留数を用い種々の積分計算ができる。
・方法
試験 ７０点＋小テスト(演習を含む) ３０点の合計１００点で評価する。
【テキスト・参考書】
特に使用しない。
【その他】
・学生へのメッセージ
問題を解くことで理解が深まるので積極的に演習問題を解くこと。実変数の関数と、複素変数の関数の違いを味わいましょう。
・オフィス・アワー
オフィースアワーとしては、毎回の講義終了後に当該講義室または別室にて、質問などの対応を行う。
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